Равновесие железного лома

В курсе физики за 7 класс школы изучается такое понятие как момент силы. Как правило, изучение ведется на обычном вращающемся рычаге, а сам момент силы, хоть и понятен, но все-таки остается некой абстрактной конструкцией.

Намного интереснее попробовать применить момент силы для определения центра тяжести любого протяженного предмета (рейки, трубки, указки и т.д.) Трюк заключается в том, что необходимо положить предмет на указательные пальцы двух рук и постепенно сдвигать их до полного сближения. При этом оказывается, что, независимо от начального расположения пальцев, они всегда останавливаются строго под центром тяжести предмета. На неподготовленного зрителя это производит сильное впечатление. Для усиления эффекта можно тут же уравновесить предмет ровно на одном пальце (хотя это и требует некоторой сноровки).

В нашем эксперименте мы не будем размениваться по мелочам и сразу возьмем железный лом. Выразим наш “трюк” на языке формул.

Лом находится в статическом равновесии. Значит, для него выполняются два условия:

- сумма сил, действующих на него, равна нулю
- сумма всех моментов сил тоже равна нулю, причем относительно любой точки

Действующих сил ровно три: силы реакции опоры от двух пальцев (направлены вверх) и сила тяжести (направлена вниз). Соответственно, первое условие равновесия запишется так:

F_тяж = N₁ + N₂

Как видно, движение пальцев может приводить только к перераспределению нагрузки между ними – если N₁ увеличивается, то N₂ синхронно уменьшается, и наоборот.

Для записи второго условия равновесия нам необходимо выбрать ось вращения, относительно которой будем отсчитывать моменты сил. Ограничений на такой выбор нет, поэтому проведем ее прямо через центр тяжести нашего лома. В этом случае:

N₁ * L₁ = N₂ * L₂

N₂ = N₁ * L₁ / L₂

Скомбинируем оба уравнения и выразим наши силы:

F_тяж = N₁ (L₁ + L₂) / L₂

Тогда

N₁ = F_тяж * L₂ / (L₁ + L₂)

и

N₂ = F_тяж * L₁ / (L₁ + L₂)

Если изначально первый палец неподвижен, а второй движется, то при уменьшении L₂ до нуля N₁ будет стремиться к нулю, а N₂ стремиться к F_тяж. Однако еще до этого момента нагрузка на второй палец превысит пороговую величину, определяемую трением, и палец перестанет двигаться. Теперь начнет двигаться первый палец, а второй будет неподвижен. При сближении пальцев, то есть при уменьшении плеч рычага, смена очередности движения пальцев будет происходить всё чаще, и в итоге они оба остановятся точно под центром тяжести. В этот момент будут выполняться следующие соотношения:

N₁ = N₂ = F_тяж / 2

L₁ = L₂ = толщине пальца

Итак, как мы видим, такой довольно оригинальный эксперимент на самом деле описывается с помощью всего лишь двух формул и небольшого рассуждения относительно сил и их моментов.